罗巴切夫斯基的反证法的出发点是第五公设的等价命题，即普列菲尔公理。这个公理陈述了过平面直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交。他的否定命题很简单：过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交。基于这个否定命题和其他被认为合理的公设，罗巴切夫斯基构建了一个新的公理系统，开始进行逻辑推演。

在推演的过程中，他得到了一系列看似古怪且与常规几何相悖的命题。然而，经过仔细审查，他发现这些命题之间并没有逻辑矛盾。于是，他断言这是一种新的几何理论，其逻辑严密性和完整性可以与欧几里得几何媲美。

罗巴切夫斯基的理论并未受到学术界的认可。他的观点遭到了当时学术界的冷漠和反对。即便是德国数学家高斯，虽然能够理解和欣赏罗巴切夫斯基的观点，但出于胆小的原因，并未公开支持他。罗巴切夫斯基在人生的最后时光，仍然未能看到自己理论的正式认可。

1856年，罗巴切夫斯基在口述完自己最后的著作后，郁闷地离开了人世。然而，12年后，一位意大利数学家发表了论文《非欧几何解释的尝试》，证明了非欧几何可以在欧式几何的曲面上实现。非欧几何终于得到了学术界的认可，而罗巴切夫斯基也因此被誉为几何学界的哥白尼。

罗巴切夫斯基是一位在逆境中勇敢拼搏的数学家，是数学界的真正巨人。他不仅挑战了欧几里得的第五公设，更通过反证法开创了一种新的几何理论。他的贡献虽然未能在他的一生中得到应有的尊重，但他的理论最终改变了数学的面貌，为后来的研究奠定了基础。罗巴切夫斯基的非欧几何理论成为了数学历史上不可忽视的一部分，证明了勇于挑战传统的力量最终能够改变世界。